介值定理
介值定理是一个基本的数学定理，它指出，如果一个函数在闭区间 [a, b] 上连续，那么对于区间中任何的 c，函数在 c 处的取值都介于函数在 a 和 b 处的取值之间。
介值定理的局限
介值定理虽然是一个强大的定理，但也存在一定的局限性。它只能应用于闭区间上的连续函数。它只能保证函数在 c 处的取值介于函数在 a 和 b 处的取值之间，但不能提供关于函数在 c 处的具体取值的信息。
介值定理的扩展
为了克服这些局限性，介值定理已经被扩展了。
1. 在开区间上的扩展
介值定理可以用在开区间 (a, b) 上。这时，只要函数在区间 (a, b) 上连续，那么对于区间中任何的 c，函数在 c 处的取值都介于函数在 a 和 b 处的取值之间。
2. 在无界区间上的扩展
介值定理还可以扩展到无界区间上。例如，对于在半开区间 [a, ∞) 上连续的函数，如果函数在无穷大处的极限存在，那么对于区间中任何的 c，函数在 c 处的取值都介于函数在 a 处的取值和函数在无穷大处的极限值之间。
3. 在分段连续函数上的扩展
介值定理也可以应用于分段连续函数。如果一个函数在闭区间 [a, b] 上分段连续，那么对于区间中任何的 c，函数在 c 处的取值都介于函数在 a 和 b 处的取值之间。
4. 多元函数的扩展
介值定理也可以推广到多元函数。对于一个在闭立方体 [a, b]×[c, d]×[e, f] 上连续的多元函数，如果函数在立方体内部的任意点 (x, y, z) 处的取值都介于函数在立方体上八个顶点的取值之间，那么函数在立方体内部的任意点 (x, y, z) 处的取值都介于函数在立方体上八个顶点的取值之间。
应用
介值定理的扩展在数学和科学的许多领域都有应用，包括数值分析、最优化和图形学。
结论
介值定理及其扩展是对数学的基本工具，它允许我们对函数在特定点的行为做出重要推断。通过扩展介值定理的适用范围，我们可以更广泛地使用这个定理来解决各种问题。
闭区间上的可积函数是有没有界？
有。
闭区间上有限个间断点的有界函数是可积的，但只说闭区间上的有界函数是不一定可积的。
在闭区间上一个单元函数满足后者一定可以推出其也满足前面的系列性质，即闭区间上，从后往前推可以，但从前往后推，未必。 具体表现为可导一定连续，可导一定可积，可导一定有界，连续一定可积，连续一定有界，可积一定有界。
扩展资料：
注意事项：
1、所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。
2、拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f(x)之间的桥梁。
3、积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。
4、罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到柯西中值定理。
5、积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。
论文：一般化思想在数学中的应用
1 、一般化的含义及性质数学对象的一般化是与特殊化相反的一个过程．如果对象A和B相化，且此时称B是A在D下的一般化产物．比如，从圆到椭圆、从圆的直径到圆的弦、从形如x4＋ax2＋b=0的四次方程到一般的形如x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4=0的四次方程属平凡标准下的一般化；从Abel群到环、从线性度量空间到线性拓扑空间、从群到拓扑群等属非平凡标准下的一般化(标准是什么，后面再涉及)．对关于对象X的命题(或一般地某种语句)，将X换以更一般的对象并对语句适当调整，便得一般化命题．比如，“存在有无穷多个自然数n，使得2n＋1、3n+1为完全平方数”，可一般化成“存在有无穷多个自然数n，使得对给定的自然数m而言，mn＋1、(m＋1)n＋1为完全平方数”．这是加拿大1989年第30届国际数学奥林匹克(IMO)训练题之一．后一命题是将前一命题中的2换成一般的自然数m所得的产物．需要指出的是，在对命题进行一般化时，如何看待命题中所涉及的对象，直接影响着一般化后命题的真伪．例如，若将“三角形内角和等于180°”中的“三”换成一般自然数n(n≥3)，一般化命题“n边形内角和等于180°”显然不真；而若将180°写成(3-2)×180°，然后换3为n，所得一般化命题“n边形内角和等于(n-2)180°”却是真的．与特殊化相同，一般化亦具有多向性、程度性(层次性)、条件性，以及特殊对象A到一般对象B具体实现道路的多元性．同时，对于一个数学对象来说，它不仅是一般化的起点，而且还可是一般化的终点——不同方向一般化的终点．一般化的多向性源自对象一般化起点的多方面性．起点包含客观和主观双方的因素．客观因素是指对象构成的诸方面，主观因素是指对对象的解释——如何看待给定的对象，其中包含着人之主观能动性的发挥．从不同的起点出发，可得出不同的一般化产物．例1 A=34这一对象有两个基本构成方面：底数3及指数4．将4一般化成变元x，A便一般化成了3x；将3一般化成变元x，A便一般化成了x4．3x和x4之间不具有特殊与一般的关系，是对A沿不同方向一般化的产物．构件的一般化导致了对象本身的一般化．值得指出的是，并非在任何情况下构件的一般化都能导致对象的一般化．对象实际上可看作由某些构件按照一定的制约关系组成的一个系统，一个构件的变化要受到其他构件一定程度的制约，构件的变化不是绝对自由的．比如，2-1一般化成x-1后，x要受到指数-1的如下约束：x≠0．只有在一定的范围内，一般化才是有意义的．这符合“任何事物都有一个度——维持其质的度”的哲学道理．不仅构件的一般化能导致对象的一般化，构件间联系的减弱也能导致对象的一般化，而且这是一种一般化的重要方式：弱抽象的方式，这在后面我们要详细谈到这一点．这里我们仅举一例，以表明它也是造成一般化之多向性的原因之一(对象作为一个系统，其基本构成因素有两个：元素构件及其间的联系．构件的变化、联系的变化是对象变化的两个基本的客观方面)．2、一般化的应用一般化是一条经济思维之路．一般化有利于提高思维效率．一般的问题解决了，特殊的问题往往亦能解决．一般对象的特征，特殊对象均具备．当人们理解了一般对象的特征后，便没有必要再对特殊对象一一证明其具有此性质．只要明确了对象是特殊的，我们便可断言它定具有此性质．这样，对一个一般对象的认识(在其特征方面)实际上包含了对诸多特殊对象在相关方面的认识，即一等价于多．从而，节省了人的思维力．比如，人们知道了“对实数a而言，a2≥0”以后，就没有必要再去验证22≥0，1.52≥0，(-0.02)2≥0，π2≥0，…诸如此类的结论．实际上这种验证手续也是不可能进行完毕的，因为实数的个数是无穷多，甚至是不可数的．再者，倘若人们仅限于这种验证工作，最终得到的只能是一些经验．没有无穷，不会产生带有普遍性的科学(庞加莱语)．没有一般化，人们就不会从有穷过渡到无穷，数学不会产生，其他科学亦不会产生．须指出，一般对象代替特殊对象是就某方面而言的，并非在任何方面皆如此．事实上，特殊对象之所以称为特殊对象，是因为其具有自己的特点或“个性”．比如，a2≥0中的a代替2(22≥0)只是相对“≥0”可行，2的其他性质(比如偶数性)不一定能从a中得出．一般化是一条学术研究之路．它引导人们从特殊走向一般．比如，17世纪法国数学家帕斯卡(Pascal)于16岁发现的(现今称为)帕斯卡六边形定理(若一六边形内接于一圆锥曲线，则每两条对边相交而得的三点共线)经历了一个一般化的过程．他首先对特殊的圆锥曲线——圆发现了这一定理，然后通过投射和取截景实现由圆到圆锥曲线的一般化，证明它对所有圆锥曲线都成立．再如，对数学大师希尔伯特，人们一提到他，往往和形式主义、公理化方法联系起来，认为这是其思想的精华．其实，他还有另一个很重要的研究之路——由特殊到一般——一般化．著名的数学家韦尔在为英国皇家学会撰写的文章中谈到，“掌握一个具体的问题与形成一般的抽象概念，在这两者之间，希尔伯特总能幸运地取得平衡”．“希尔伯特在求解特殊问题的时候，总能敏锐地抓住向他显露出一般关系的迹象．希尔伯特在研究数论的那个时期中，阐明了关于类域的一般定理和一般的互反律，这也是说明上述因素的一个绝妙的例子”．“希尔伯特对数域理论……是在1892—1898年期间研究这一学科的．一篇篇论文问世，一步步从特殊到一般，涉及到许多有用的概念和方法，揭露出本质的内在联系”．拉格朗日、哈密尔顿亦有从特殊中发掘一般，由特殊过渡到一般的一般化研究风格．一般化有助于增强认识的普遍性，扩展认识的范围，这是显然的．因一般化的直接体现就是对象外延的扩大．将小范围的事实扩展到更广泛的范围中去，也是一般化的目的之一．因事实(或思想)适应面的增大，为在大范围内应用这一思想奠定了基础．比如将连续函数在闭区间上的有界性定理、介值定理进行一定程度的推广后，就可在很多分析分支中被应用；将解方程x2＋5x-7=0的配方手段以后，就可解任意二次项系数为1的实系数二次方程(如x2-3x-5=0)．在较具体的一般化手段中，符号化和抽象化是增强认识普遍性的两条重要途径．数学(主要)是一种(符号)语言，它以大量使用各种符号为特点，而且随着历史的发展，这种特点日益强烈地表现出来(如希尔伯特的形式化观点提出以后，更加剧了这种趋势)，或许可以说，尤以数理逻辑为甚．数学内容(对象、命题等)的一般化伴随着数学语言的变化——或者语词的变化(如多元函数的偏导数→方向导数；实数→复数；连续函数→勒贝格可积函数；等等)，或者语义的变化(如普通微积分中的连续函数→拓扑学中的连续函数，同叫连续函数，但前者比后者特殊．函数的概念、级数收敛的概念在历史上亦经历了一个其内容由狭义到广义即由特殊到一般的过程)．在一定程度上，可以说，符号的引进为一般化奠定了语言基础．比如，在韦达(F．Vieta)有意识地、系统地使用字母以前，代数(方程论)还基本是语言表述代数，那时方程是用语言叙述出来而不是写成像ax2＋bx＋c=0的简洁形式的，人们处理的方程也只是用语言表述的各种很具体的方程．韦达引进符号后，情况发生了实质性的变化．他既用字母表示未知量及其乘幂，也用字母表示今天所谓一般的系数(常变数)．通常他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量．借助于符号，就可给出二次方程的一般式ax2+bx＋c=0，这是一类方程的共同表达式，是一般元， 而不是个别具体的方程．方程实现了一般化，人们便可考虑其一般解法，寻求求解二次方程的统一的、带有普遍性的方法，从而导致人们对方程求解之认识的升华．在这里，显然文字代数向符号代数的转变、个别方程的研究转向一般方程的研究是以符号的引进为前提的．另一方面， 引进符号，有时就是为了具体扩展已有认识范围，引进的符号，就是形式添加的新元素．这在“添加元素完备化原则”的运用过程中经常出现．比如，在自然数{1，2，…，n，…}的范围内，加法和乘法是封闭、畅通无阻的，但其逆运算减法和除法却不然．为了消除或突破这种局限性，人们引进符号0，-1，-2，…，-n，…，使得a＋x=b总是可解——即减法封闭(消除了不畅通的障碍)的，并对这些数的乘法运算进行一系列规定，使得加法、乘法原来成立的规律(结合律、分的符号就是相应方程的形式解．当然，符号不能胡乱引进，引进的符原范围，相应范围的一般元也就实现了一般化．在这里，引进符号是一般化的直接实现者．这是数学推广的一种重要形式．以抽象化的形式扩充认识范围的主要手段是公理化(公理可看作是对具体事物特征分离概括化的产物)，包括形式化的近代公理化．人们对公理化系统进行研究以后，各种具体系统(满足所言诸公理)的相应性质也就明了了．代数结构是公理化的典型．用公理给出的对象不管其具体构成元素如何，只要元素间的关系满足诸公理就行．这种对象由于是由性质定义的(不是对象制约性质，而是相反)，因而其具抽象性．一个公理系统的结论适应于满足这些公理的任一具体系统，而由具体系统得出的结论只适应于自己(是否对其他系统也对，尚需验证)，因而公理化结论更具有普遍性．一般化有助于增强认识的深刻性(普遍性和深刻性是科学的两个基本特征)．人们进行一般化，并非仅仅为了一般化，它还为了能更好、更深入地认识特殊．精确化、明晰化是认识深入化的重要标志．一般化就有利于认识的精确化．比如，关于矩阵的秩rk，在高等代数中有下述定理：对矩阵An×m1，Bn×m2，有max{rk(A)，rk(B)}≤rk(A，B)≤min{n，rk(A)＋rk(B)}．用高等代数的常用方法，不可能给出rk(A，B)的表达式，然而借助于逆矩阵的一般化——广义逆矩阵，就可以做到这一点，实现rk(A，B)公式的精确化：rk(A，B)＝rk(A)＋rk[(I-AA+)B]=rk(B)+rk[(I-BB+)A]．其中I是单位阵，A+、B+分别是A、B的加号逆(Moore-Penrose逆)．在这里，概念的一般化导致了命题的精确化、定量化．一般化是一条系统学习之路．如果人们将某学科或教材的概念单列出来，命题单列出来，按着由特殊到一般的顺序列成表，它将有助于人们的系统记忆，有助于学习的系统性．从理论上讲，这种表对科研亦有一定的指导作用．关于这些，我们将在下一节做较细致的说明．
拓扑学入门10——连通性
连通性：空间结构的基石
在拓扑学的基石中，连通性描绘了空间结构的完整性。 它定义为，一个拓扑空间若非空且不存在非空的开集将其分割成两个独立的部分，即视为连通。 这一特性反映了空间中两点间存在路径连接的基本原则。
连通性的等价表述包括：不存在非空闭集将空间隔开，不存在非开闭集，以及任何连续映射在该空间上都不是单点映射。 例如，单点空间是连通的，而离散空间因其无数个互不相交的点，非连通；非空平凡空间（所有点都连接）则显而易见地连通；有限补空间，如有限个点组成的集合，同样具备连通性。
连通集的性质揭示了它们的内在联系
连通集的子集保持连通性，只要在相对拓扑下仍保持为一个整体。 我们常常通过反证法来证明，比如有界闭区间，由于其边界点的连通性，证明其必然连通。
关键命题揭示连通性的组合性质
命题10.7指出，两个具有公共点的连通集并集，其连通性得以保持。 这是通过考察连续映射的常值性来证明的。 另外，数轴子集的连通性与区间有着直接的对应关系：有界闭区间、无限区间（含端点）和开区间（不含端点）均是连通的。
更进一步，连通空间的连续像保持连通性，这是通过复合映射的连续性及原空间连通性来确保的。 同样，连通集的子集连通性涉及证明映射在闭集上的行为，可以使用数学归纳法来论证。
连通性的扩展与复杂性
有限个连通空间的直积仍然保持连通，这依赖于子集与有限直积的同胚性。 而对于一族连通空间，通过投影映射和选择公理，我们能证明它们的积空间是连通的。
连通性的概念并非仅限于直观的路径连接，还有更深入的描述，如道路连通性，即空间中的两点之间存在连续映射构成的路径。 道路连通性揭示了空间结构的路径连通特性，而连通分支和道路连通分支则为研究复杂空间提供工具。
尽管连通性概念看似简洁，但其应用和证明过程可能涉及复杂的数学论证，如实数性质和介值定理。 比如，某些空间可能连通但非道路连通，证明过程可能涉及对闭包和连通分支的细致分析。
通过一系列的例证，我们展示了连通性在不同空间结构中的表现，以及其与道路连通性、等价关系、连通分支等概念的相互作用。 连通性不仅是空间结构的基础，也是理解拓扑性质的关键。
最后，通过对比和实例，我们展示了连通性在处理复杂空间结构时的局限性和独特性，为后续章节探讨分离公理（1）打下了坚实的基础。
