极限理论作为数学分析的基础，它研究当自变量无限接近于某一点时，函数的极限值。传统上，极限理论主要集中于实数函数的极限，但随着数学的发展，极限理论逐渐扩展到了更广泛的数学领域，并取得了突破性的进展。
拓扑极限
拓扑极限将极限理论拓展到了拓扑空间的函数。它研究当自变量在拓扑空间中收敛到某一点时，函数的值在另一个拓扑空间中收敛的性质。拓扑极限在代数拓扑和几何中有着广泛的应用，例如计算同伦群和证明同伦等价定理。
概率极限
概率极限研究随机变量序列在极限中的行为。它包括弱收敛、强收敛和几乎处处收敛等概念。概率极限在统计学、机器学习和金融数学等领域中有着重要的应用，例如推断随机过程的性质和构建统计模型。
泛函极限
泛函极限将极限理论推广到了泛函空间中的函数。它研究当自变量是泛函空间中的元素，并且收敛到某个元素时，函数的值在另一个泛函空间中收敛的性质。泛函极限在偏微分方程和量子力学等领域中有着应用，例如研究解的存在性和唯一性。
极限点理论
极限点理论关注无限集合中点的极限行为。它研究一个集合的极限点（也称为聚点）的性质和分布。极限点理论在拓扑学和泛函分析中有着重要的应用，例如证明紧集定理和扩展泛函。
应用
除了上述理论突破之外，极限理论在现代数学中的应用也十分广泛，包括：- 证明复杂的数学定理，例如微积分基本定理。
- 构造和分析复杂函数，例如拓扑流形和偏微分方程。
- 研究随机现象的规律性，例如随机游动和马尔可夫链。
- 解决物理学、工程学和经济学等领域的实际问题。
结论
极限理论的突破拓展了数学的边界，为解决复杂的数学问题提供了新的工具和方法。它在现代数学各个领域中有着广泛的应用，并继续推动着数学的进步。极限理论的不断发展不仅拓宽了我们的数学知识，也为科学和技术的创新奠定了基础。二分法悖论相关资料
悖论是逻辑学领域中一种特殊的命题形式，它往往导致矛盾，使得推理陷入困境。 悖论的概念源于希腊语中的“para+dokein”，意味着“多想一想”。 悖论的性质在于，如果认定其为真，经过一系列正确的推理后，却可能得到与之相反的结论；而如果认定其为假，同样能得出其为真的结论。 悖论的存在揭示了逻辑推理系统中的某种脆弱性或不完整性。
在集合论中，集合被分为正常集与异常集。 正常集是指那些不包含自身作为元素的集合。 以自然数集N为例，由于N本身并非自然数之一，故N属于正常集。 相反，异常集是指那些包含自身作为元素的集合。 例如，所有非生物的集合F，由于F本身并非生物，故F被归类为异常集。
日常生活中常见的悖论，如说谎者悖论、理发师悖论、上帝悖论等，实际上都可以被归类为异常集的范畴。 这些悖论在本质上挑战了我们对逻辑、语言及自我参照的理解。
在探讨无限的概念时，悖论同样扮演着关键角色。 尽管极限理论在现代数学中被广泛接受并运用，但将其概念清晰地传达给非专业人士仍是一项挑战。 经典的无限悖论包括芝诺的阿基里斯悖论与康托尔关于点的悖论。
芝诺的阿基里斯悖论描述了一个看似不可能的赛跑场景：阿基里斯在赛跑中追赶起步稍前的乌龟，然而无论距离多么接近，总有一段距离使得乌龟能够继续前进，从而阿基里斯永远无法追上乌龟。 这个悖论揭示了在无穷小分割的连续过程中，如何定义运动与距离的本质。
康托尔的悖论则涉及点与无限空间的关系。 他证明了直线上的点能够与平面上的点一一对应，且这种对应关系同样适用于整个空间中的点。 这意味着，即使是最微小的线段内的点数，与整个无边无际的太平洋面上的点数，以及地球内部的所有点数，实际上在数量上是“等价”的。 这一结果挑战了人们对于有限与无限、数量感的直观认识。
悖论的存在不仅体现了逻辑与数学的深邃与复杂性，同时也引发了对人类认知、语言与逻辑规则的深入思考。 它们的存在促使我们不断审视和质疑现有的知识框架，促进了理论的修正与创新。
扩展资料二分法悖论是古希腊哲学家芝诺于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问中提出的四个著名悖论之一。
关于芝诺的二分说悖论，给出详细的解释，包括物理上或者数学上的相关理论。
比如：我们要跨过一个沙丘，必须先走过它的1/2，要想跨过1/2必须先走过1/2的1/2，也就是1/4，想跨过1/4也要先跨过它的一半。 。 。 如此下去我们永远跨过不了沙丘。 听了头疼吧，这就是芝诺的数学悖论《二分说》。 他回答 共3条 〕“阿基里斯追不上乌龟”的论证，依靠了形式逻辑。 形式逻辑本身不能无限制地连续使用，即不能保证从正确的前提推导出正确的结论，推导的步骤越多，逻辑的失真程度越大，甚至可以得出很荒唐的结论。 要保证正确的前提不走向错误的推论，逻辑推导的步骤不能太多，步骤越少，失真的危险越少。 理论具体形态的自圆其说，在逻辑性和客观性及文法等方面都是相对的。 一、逻辑应用的困境“阿基里斯追不上乌龟”①是古希腊一个哲学故事。 阿基里斯是当时一个善于长跑的人，他当然能够追上乌龟，用方程方法可以解决。 假设阿基里斯的速度为a，乌龟的速度为b，阿基里斯开始追赶乌龟的时候，乌龟在阿基里斯的前面，假设这段距离为c，请问需要多少时间阿基里斯可以追上乌龟?设所需要的时间为x，那么ax=bx+c，x=c/(a-b)。 由于abc都是常数，x当然可以求得一个解。 当然如果ab的差如果很小，那么解可以趋于无穷大。 但是这个哲学故事是讲，不论阿基里斯比乌龟跑得有多快，他都追不上乌龟。 可见用思维的方法，我们也能够解决问题，而不仅是用实践或实验的方法。 但是当我们引入无限分割的问题时，事情就出现了变化。 如果我们这样思考：阿基里斯在追赶乌龟的过程中，或者追上乌龟之前，必须先走完乌龟当前已经超过他的距离。 这不是假设，而是确实应该的事情。 但是这种思维方式却是假定的，你可以用这样的思维方式，也可以不用。 一旦用了这样的思维方式，就会使思维过程没有完结，从而使得阿基里斯追不上乌龟。 按照这种思维方式，当阿基里斯走完乌龟超过他的距离后，乌龟在这段时间里也前进了一段距离，虽然愈来愈小。 这样的思维可以无限重复。 每次这样的思维，结果都是一样的，在这个过程中，逻辑并没有犯错。 我们可以把这样的思考无限循环下去，而且乌龟继续前进的距离永远不会是零，虽然趋向无穷小。 于是，可以用形式逻辑的方法，推出阿基里斯永远追不上乌龟这样的结论。 这个故事中所讲的问题，是古希腊哲学家芝诺的发现。 他认为，阿基里斯回不了家。 假设我们用无限分割的思想，可以这样思考：在阿基里斯回家的过程中，必须先走完部分距离，接下来他要走完剩余距离，也必须先走完其中的若干部分，这样也可以无限地思考下去，也就是说这种思维可以无限重复下去，那么阿基里斯在人的思考中永远回不了家。 这两种思维的实质都是无限分割。 可以确定，第一次分割的结果不会为零，第二次分割的结果也不会为零，后面都是同样的分割。 我们如果以逻辑为根据，就没有理由认为最终的分割会为零。 这些哲学谜题在中国古代也有，例如“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是讲一根棍棒，每天用掉一半，那么永远也用不完。 但是我们要注意物质和空间是不同的，空间的无限分割更复杂。 根据当代物理学原理，物质的无限分割有两方面，一方面是宏观物质不能无限分割，分割到分子或者原子的时候，物质就不能保持自身了。 但是从物质起源看，到目前仍然不了解物质无限分割的界限，这是物理学上有关物质结构的问题。 这是哲学家芝诺的一个著名论证，他的论证是这样的：阿基里斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟的起跑点，可他跑到乌龟的起跑点的时候，乌龟已经前进了一段，于是他又要花一点时间追上乌龟，而乌龟又跑了一点远，这样，他又追，但却怎么也追不上了。 这显然与现实不符，但怎么听的好像说的有道理列，谁知道问题处在什么地方，怎么想不过来了啊问题补充： 有没有人能对这问题的根源谈谈列，他是怎么把人就拗住了哈。 我也知道肯定能追上的哈，总之说的详细和具体点哈啦，看了你们几个的答案怎么还是不明白错的根源在哪啊其错误在于：把阿基里斯追赶乌龟的路程任意地分割成无穷多段，而且认为，要走完这无穷多段路程，就非要无限长的时间不可。 其实，即使按照这种分段方法，走完第一段路程需1小时，走完第二段路程需10分之一小时， 走完第三段路程需100分之一小时……这样，追上乌龟的时间恰恰是有限数：1+1/10+1/100+...=1又1/9（小时）（根据高中里将学到的无穷递缩等比数列知识，可以严格地推证） 这同算术、代数方法求得的结果是一致的。 阿基里斯是古希腊的长跑健将，但是芝诺说他永远也追不上一只乌龟。 假设这只乌龟距离他s米，如果他想追上这只乌龟，就要先跑到这短距离的1/2，如果他想跑完这1/2，就要先跑完这1/2的1/2，以此类推，他永远也追不上这只乌龟。 这是哲学家芝诺的著名的逻辑命题。 阿基里斯是古希腊的长跑健将，但是芝诺说他永远也追不上一只乌龟。 如果让乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。 乌龟先行了一段距离，阿基里斯为了赶上乌龟，必须要到达乌龟的出发点A。 但当阿基里斯到达A点时，乌龟已经向前进到了B点。 而当阿基里斯到达B点时，乌龟又已经到了B前面的C点...........依此类推，两者虽越来越接近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。 这个悖论与另一个两分法悖论是同一个悖论的两种表述形式.我们设乌龟的速度相对于人的速度为0,人的速度相对于乌龟的速度为v,这样这个悖论与两分法悖论就完全一样了.一般认为,这两个悖论已经为现代的极限理论所破解,但真是这样吗?这几个悖论有这样的一个特点.在漫漫两千多年的历史中,人们多次以为这几个悖论已经破解,但过后却发现根本就不是那么回事,所谓的破解反而成了这几个悖论成立的最有力的证据.运用无穷级数求和能破解芝诺悖论吗?彭哲也(人在井天)有一种思想认为可以通过无穷级数求和的办法解决这个问题(两分法和阿基里斯追龟).我们设物最后到达终点后所走过的空间距离为1,所走过的时间距离为1.首先我们假设物没有最后一个中点要走,则物走过无穷个中点之后物在空间上所走过的距离s是:S=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n(n为无穷大)我们可以看出,这里面的s是无限接近物实际到达的空间距离1.但无限接近并不是等于,也就是说,物并没有最终到达.现在我们假设物有最后一个中点要走.则有S=1/2+1/2^2+1/2^2S=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^3.............S=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所走过的距离与物实际到达所走过的距离是一致的.从上面的计算我们可以很简单地看出,物如果到达了终点,它走过了最后一个中点.如果物没有走过最后一个中点,物就不能到达终点.同理,我们可以算物走过无穷个中点所用的时间.设实际到达的时间为1.如果物没有最后一个中点要走.物走过无穷个中点所用的时间t是:t=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n可以看得出,这里的t是无限接近物实际到达终点所用的时间,但无限接近并不是等于.如果物有最后一个中点要走,则有t=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所用的时间与物实际到达的时间是一致的.从上面的计算可以很清楚地看得出来,物如果有最后一个中点要走,物所用的时间与实际到达的时间相同.物如果没有最后一个中点要走,物所用的时间只能是无限接近物实际到达终点所用的时间,而不能等于.所以无穷级数求和的结果是,如果物能到达终点,物必须走过最后一个中点.但是物是如何走过最后一个中点的呢?这里没有半点依据.也就是说,两分法的悖论依旧.或者说,这种无穷级数求和的办法反而更加加深了这个悖论的逻辑性.两分法悖论与阿基里斯追龟悖论其实是同一个悖论的两种表述.两分法不能解决,阿基里斯追龟当然依旧.芝诺悖论芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。 假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。 比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。 兔子永远追不上乌龟兔子跑的比乌龟快，但如果让乌龟先跑，兔子将永远不可能追上乌龟。 证明如下：假设兔子的速度是A，乌龟的速度是B，乌龟先跑出L米远，则兔子追上L米所需的时间是t=L / A。 此时，乌龟又跑出了t * B米远。 兔子追上这段新拉开的距离需要花费t1 = (t * B) / A，则乌龟又落下兔子t1 * B米远。 显然，兔子总是要花时间才能追上它和乌龟之间的距离，而在这段时间里它与乌龟之间又会产生新的距离。 所以，兔子永远追不上乌龟。 以上论证 0......无限=1 的都是基于现有的数学定律 而并不代表一定是事实 也许数百世以后的数学家会认为这些定律是错误的 就好象我们认为古人的某些定律是不完全正确的一样所以他们论证的结果只建立在现代的定律被后世否认以前 是有时代局限性的 就目前而言 在学术上0.9999...无限=1 是正确的再从实际应用上来说有位网友的甲同学拔乙同学的头发这例子举得很好0.999...无限始终是<1的 就比方某个高精度的仪器当能量负荷达到1的时候就会过载而爆炸 但是他的最大使用负荷则是0.999..无限 在这无限接近的情况下 发挥最大作用 而又不会爆炸 所以1>0.9999,...无限再再从哲学上说这就要讨论到 无限与有限的关系了 无限并不代表绝对无限 我们都知道宇宙是无限的 但是它真的无限吗? 不 也许它是有限的 只是以我们的能力无法知道他的极限而已 所以对我们来说它是无限的无限只能代表对我们而言无法看到他的极限 并不是真的无限比如数学上的1/3=0....无限循环 但是事实上1/3是约大于0.3333..无限循环的 只是我们算不出他的最后一位而已为什么说是约大而不是约小呢 因为不管我们 无限到多少位后 在那个最后一位的3之后 还会余...0.0000..无限0...1 所以是约大以上言论只是个人见解....阿基里斯与乌龟:当时全希腊跑的最快的是阿基里斯.芝诺说,只要让乌龟先爬一段距离,则阿基里斯永远追不上乌龟.因为,他要追上乌龟,首先就要到达龟所爬行的出发点,这时龟已经向前爬行了一段;当阿基里斯跑到龟的第二个出发点时,龟又爬行了一小段,阿基里斯又得赶上这一小段,以至无穷.阿基里斯只能无限地接近,但永远不能赶上它.所以假如承认有运动,就得承认速度最快的追不上速度最慢的.任何驳倒这个悖论:假设让乌龟先跑10千米,阿基里斯跑步的速度是乌龟的100倍,他能追上吗?芝诺悖论到底说明了什么问题呢?由于古代的科学家们习惯于研究一个个离散的数,对连续的数感到不可理解,芝诺悖论的出现,恰恰反映了古希腊数学家想用离散的观点去解释连续现象所遇到的矛盾.这个问题是小时候困扰我的问题之一 明明阿基里斯比乌龟跑得快为什么就追不上它呢？但我在高中时就突然对这个问题有了个很清晰地理解因为在设定这个问题时 芝诺按照距离把时间无限细分了注意：是按照路程（ 位移）而这个的运动状态有3要素即路程 时间 和速度因为路程是随时间变化而变化的是连续的而这里悖论的来源就是硬生生地把这问题分开考虑所得出如此不合常理 但又无可辩驳的悖论这个问题只不过是按照路程 把出发到追上的时间处无限细分这里的永远追不上乌龟是指那段时间可以分无限次而不是那段时间无限长因此这里也偷换了永远这个概念人能不能追上乌龟呢?”大家听到如此发问一定会觉得太可笑了。 不过，古希腊的著名哲学家芝诺确实提出了这类问题，并论证说“阿基里斯迫不上乌龟”。 阿基里斯是全希腊跑得最快的“快腿”。 据说在特洛伊的战将赫克托耳杀死了阿基里斯的朋友帕特浴克勒之后，阿基里斯在为朋友报仇中，以“快腿”的优势刺死了败逃中的赫克托耳。 就是这样一位”快腿”，芝诺却论证他追不上乌龟。 芝诺提出，龟先行，阿基里斯在赶上龟以前，必须首先到达龟的出发点，而在他追至这一点时乌龟又爬行了一段路程，于是阿基里斯又必须赶上这段路，而此时龟又向前爬行了一段路。 这样一直追赶下去，虽然愈追距离愈近，但阿基里斯却始终追不上乌龟。 为什么说芝诺的论证是错误的呢?亚里士多德曾精辟地分析过芝诺的论证，他说：“认为在运动中领先的不能被赶上，这个论断是假的，因为当它领先时是不能被赶上的，但如果允许它可以越过规定的有限的距离，那么它也是可以被赶上的。 ”亚里士多德指出了芝诺观点的一个要害的问题，就是：先给定了一个不允许最快的越过规定的有限的距离的前提。 事实上最快的可以越过有限的距离，从而超过最慢的。 显然，芝诺只承认两个彼此分离的不同的时空点，而否认它们之间的互相联系，进而否认运动的真实性，这无疑是片面地强调了时空的无限可分性，是形而上学的观点。 芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家。 他的一个众人皆知的“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。 假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它。 芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。 因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点，可是，这时后者又向前爬了一段路了。 于是前者又必须赶上这段路，可是这时后者又向前爬了。 由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段，因此阿基里斯虽然越追越近，但永远追不 上乌龟。 当然，这个结论在实践上是错误的，但奇怪的是这一论证在逻辑上却没有任何毛病。 在古希腊，还有一更妙的诡辩是这样的：1粒谷子落地时没有响声，两粒谷子落地时也没有响声，3粒谷子落地时还是没有响声……以此类推，1整袋谷子落地时也不会有响声。 这同样是实践上错，逻辑上对。 对于诡辩怎么看，人们往往习惯于从实践角度去评价它，总是根据事实去说它是错的，这种评价其实是没有真正理解那些古老诡辩家的意图。 那些诡辩家自己也知道这些诡辩在实践上是错误的，他们也并不真的想否认事实，谁也没有这么傻，真正傻的是那些认为诡辩家是犯傻的人。 那些人傻就傻在不去想一想诡辩到底说明了什么问题。 其实，“实践上错，逻辑上对”这一结果是为了说明，思想的情况和事实的情况是不同的，思想中的真理和事实上的真理是不同的真理，这两种真理分别有着不同的用处。 例如，逻辑定理与事实就常常不一致。 有一条逻辑定理说的是“随便一句假话都能推出任何一句话”，这听上去十分荒唐。 结果真的有人就要英国大哲学家罗素证明从“2＋2=5”推出“罗素是教皇”。 深邃无比的罗素做出了如下的证明：假定2＋2=5；等式的两边各减去2，得出2=3；易位得3=2；两边各减去1，得出2=1；教皇与罗素是两个人，但既然2=1，教皇与罗素就是1个人，所以罗素是教皇。 这个结论，有人说是笑话，如果是这样，应当说是一个很深刻的笑话。 由此，的确可以悟出，思想和事实是两回事，理解这一点至关重要。 实际上这并不很难理解，我们在数学中讲到的点、线、面、平行线、三角形、圆形等等在事实上是不存在的，它们只是思想中的理想化的东西。 思想与事实的联系只是表现为思想可以应用到事实中去。 前面讲到的那两个诡辩只是给错误想法敲敲警钟，除此之外并没有什么用处，因为它们的确很荒谬。 但是，你真的知道“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡古希腊著名哲学家 芝诺提出的著名悖论难倒了N个实际的无数科学家哲学家。 阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。 假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它。 芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。 因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点，可是，这时后者又向前爬了一段路了。 于是前者又必须赶上这段路，可是这时后者又向前爬了。 由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段，因此阿基里斯虽然越追越近，但永远追不上乌龟。 事实是能追上。 但是无法从理论上来证明。 有人最后竟然否定了“三段论”，得出“‘三段论’的出的结论并不是正确的”这种结论。 这个悖论不痛不痒，让人反驳时无从下手。 大部分人是通过数学方法论证的，利用“极限理论”或者“微分”知识都可以处理。 下面我要从“形式逻辑”出发，揪出悖论中的猫腻，来论证这个问题。 形式逻辑通常分为三段：前提、过程、结论。 表面上，这个悖论中的前提是：1.阿基里斯在后，乌龟在前；2.阿基里斯要追上乌龟，必须到达乌龟先前所在的位置过程是：1.阿基里斯到达乌龟先前所在的位置时，乌龟向前行进了一段距离，阿基里斯没追上乌龟；2.阿基里斯到达乌龟新到达的位置时，乌龟又向前进了一段距离，阿基里斯没追上乌龟；3.回到1结论是：阿基里斯永远追不上乌龟！上面的逻辑中，过程是个死循环，只要思维不停止，阿基里斯就永远追不上乌龟。 而实际上，这个悖论隐含了好几个前提，而这些前提，恰恰是推翻该悖论的致命点：全面地，这个悖论的正确前提应该包括：1.阿基里斯在后，乌龟在前2.阿基里斯的速度比乌龟快，对于动物来讲，速度快，表现在迈腿的频率和迈腿的跨度，阿基里斯快，就说明他的迈腿频率比乌龟高，迈腿幅度比乌龟大；3.阿基里斯要追上乌龟，必须先到达乌龟先前所在位置；4. S=vt, 当v1>v2,t1=t2时，s1>s2过程是：1.阿基里斯到达乌龟先前所在的位置时，乌龟向前行进了一段距离，阿基里斯没追上乌龟；2.乌龟速度慢，阿基里斯速度快，由前提4得知，相同时间内，乌龟行进的距离要小于阿基里斯所行进的距离；即，相同时间内，乌龟到达下一个位置时经过的路程，要小于阿基里斯从乌龟的上一个所在位置到达乌龟当前所在位置的距离；因此，他们的距离会越来越小，总有某个时刻，阿基里斯离乌龟的距离，比阿基里斯一步的跨度要短；3.某一时刻，阿基里斯与乌龟的距离小于阿基里斯的步长，由前提2得知阿基里斯的步伐频率要比乌龟快，此时，当乌龟还没有迈出腿到达下一个位置时，阿基里斯先于乌龟一步，从而超过乌龟！结论：阿基里斯可以超过乌龟！我们回头再来看看，为什么那么多人会被芝诺带到沟里去？芝诺的手段究竟高明在那里？在“形式逻辑”中，如果你用错误的前提，是得不到正确的结论的。 芝诺的坏，就坏在他给了人们几个错误的前提，并且在他的推理过程中巧妙避开了隐含的前提。 即他把实际前提中的2和4避开了，并且先入为主把错误的过程灌入接题者的大脑造成思维定势，如此一来，就落进了他的全套里。 所以这个问题，并不一定非要用极限数学的方法来处理，“形式逻辑”完全可以论证，只不过最关键的是，你要找对前提！那些说“三段论不一定能得到正确结论”的人，脑子有坑。 类似悖论式“思维引导”的问题很多，比如：3个人去旅店定房间，老板说一人10元钱，3个人每人拿了10元，交给老板30元。 老板拿完后告诉服务生，今天优惠，收他们25元，你把这5元反还给他们，服务生拿到5元后，自己贪污了2元，把剩下的3元钱反还给他们3人，反还给他们每人1元，他们3个人相当于每人花了9元钱住的房间。 问：3个人每人花了9元住的房间（3*9=27元）+服务生贪污的2元，一共是29元，可是当时他们是每人拿出10元钱，应该是30元，那1元钱哪去了？over~ 辩错在什么地方了吗？高等数学认为，无限等比递减数列之和等于常数而不等于无限大，因而，阿基里斯能在有限期间和距离内赶上乌龟。 阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。 在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。 因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。 就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。 由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。 因此被追者总是在追赶者前面。 ” 如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。 首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑数学派所代表的毕达哥拉斯的 1-0.999...>0思想。 然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的1-0.999...=0, 但1-0.999...>0思想。 最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的1-0.999...=0, 或1-0.999...>0思想。 有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。 芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。 它们错在哪儿？类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。 但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。 上面说到无穷个步骤是难以完成。 这句话的是错误的！！！我可以举个例子做出1/3有人说可能是无穷个步骤因为他是3.3333....无穷无尽无数个步骤。 但是我们可以做出来。 因为我们可以做出正三角形，但我们把正三角形展开在原来的顶点处去点，我们就可以将它3等分每份就是1/3。 所以我们能做出1/3。 所以说无穷个步骤不一定是难完成的只是我们没有想到好的办法去解决！假设兔子的奔跑速度是10M/S, 乌龟是1M/S，让乌龟先跑一段距离，比如1000M，兔子将永远追不上乌龟。 因为：兔子要追上乌龟，必须先跑完这1000M，这段距离兔子需要跑100秒，而此时，乌龟又跑了100秒，兔子跑完1000M时和兔子的距离是：100S×1M/S=100M；兔子跑完这100M需要10S，此时乌龟又跑了10M；兔子跑完这10M需要1S，此时乌龟又跑了1M；兔子跑完这1M需要0.1S，此时乌龟又跑了0.1M；兔子跑完这0.1M需要0.01S，此时乌龟又跑了0.01M；兔子跑完这0.01M需要0.001S，此时乌龟又跑了0.001M；兔子跑完这0.001M需要0.0001S，此时乌龟又跑了0.0001M；兔子跑完这0.0001M需要0.S，此时乌龟又跑了0.M；兔子跑完这0.M需要0.S，此时乌龟又跑了0.M；.........................................................................结论： 兔子只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。 公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论： 他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。 当比赛开现在我们知道，时间和空间是粒子的，也就是说时间和空间都有它的最小的单位，芝诺的论断错误之一就是把时间无穷的细分了下去。 设乌龟平均速度是M，时间是T，那么假如乌龟被超过，应该满足 10MT≥MT+1000，MT≥1000，M是常数，那么T≥1000/M。 我们根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识，只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论：阿基里斯在跑了 1000（1+0.1+0.01+…………）=1000 (1+1/9)=/9米时便可赶上乌龟。 人们认为数列1+0.1+0.01+…………是永远也不能穷尽的。 这只不过是一个错觉。 我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为 t（1+0.1+0.01+…………）= t (1+1/9)=10t/9 芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟，就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。 由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的，对时间是没有限制的，时间很容易突破10t/9这样一个条件。 一旦突破10t/9这样一个条件，阿基里斯就追上了或超过了乌龟。 人们被距离数列1+0.1+0.01+…………好象是永远也不能穷尽的假象迷惑了，没有考虑到时间数列1+0.1+0.01+…………是很容易达到和超过的了。
极限思想的演变过程
高等数学研究 V o l14,N o 13 40STUD IESINCOLL EGE M A TH EM A T ICSSep., 2001 微积分史话 Ξ 极限概念发展的几个历史阶段 王晓硕 (辽宁师范大学数学系, 大连, ) 极限概念是分析数学中最基本的概念之一, 用以描述变量在一定变化过程中的终极状态。 极限 理论是微积分学的基础, 它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点。 从古至今, 人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程。 从最初时期朴素、直观的极限观经过了2000 多 年的发展, 演变成为近代严格的极限理论, 在现代数学中, 人们又引进了更广泛和更一般的极限概 念。 这其中的思想演变是渐进的、相互推动的。 本文针对极限概念在不同时期的特点给予粗略的概 述。 一、朴素的、直观的极限观 ( 这种极限观在我国古代的文献中就有记载, 最著名的是《庄子·天下篇》中记载的惠施 约前 )[ 4 ] 370——约前 310的一段话: “一尺之锤,日取其半, 万世不竭。 ” 公元 3 世纪,中国数学家刘徽 () 263 年左右 成功地把极限思想应用于实践, 其中最典型的方法就是在计算圆的面积时建立的“割 圆术”。 由于刘徽所采用的圆的半径为1, 这样圆的面积在数值上即等于圆周率, 所以说刘微成功地 创立了科学的求圆周率的方法。 刘徽采用的具体做法是: 在半径为一尺的圆内, 作圆的内接正六边 5( ) 形, 然后逐渐倍增边数, 依次算出内接正6 边形、正 12 边形、…、直至 6 ×2192边形的面积。 他利 r·ln ( ) 用公式2n =· n 为内接正边形的边长, 2n 为内接2边形的面积 来求正多边形的面积。 Snl n S n 2 刘徽认为, 割得越细, 圆内接正多边形与圆面积之差越小, 即“割之弥细, 所失弥少。 割之又割, 以至 于不可割, 则与圆和体, 而无所失矣”。 这就是割圆术所反映的朴素的极限思想。 刘徽的极限观念与古希腊的安蒂丰不谋而合。 智人学派的安蒂丰( , 约前480——约 A n tiphon 前410) 在讨论化圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积, 而内接正多 边形与圆周之间存在的空隙当多边形的边数不断加倍时被逐渐“穷竭”。 后来, 希腊数学家欧多克索 斯(Eudoxu s 约前400——约前 347) 建立了下列原理: “对于两个不相等的量, 若从较大量中减去大 于其半的量, 再从所余量中减去大于其半的量。 继续重复这个步骤, 则必有某个余量小于原来较小 [ 1 ] 的量。 ” 这就是近代分析中的阿基米德公理“∏>0, >0, ? ∈ , 使>”的原形。 著名希腊数 a bnN nab 学家阿基米德( , 约前287——约前 212) 把上述方法成功地应用于许多面积和体积的计 A rch im ede 算。 例如, 在《方法》一书中, 他证明了“抛物线弓形面积是同底等高三角形的三分之四”的结果。 阿 () 基米德是根据力学原理去发现问题, 然后用欧多克索斯的原理和反证法 双重归谬法 来证明有关 结论的。 从阿基米德的工作中, 可以看到近代积分学中微元法基本思想的雏形, 但是还没有求极限 的观念。 尽管如此, 阿基米德所创造的极富启发性的方法, 获得了大量的辉煌成果, 为后人开辟了广 阔的领域。 由安蒂丰提出, 欧多克索斯完善的方法经阿基米德的工作发展到一个高峰。 他们的工作到 17 世纪被重新研究, 欧多克索斯原理被称为“穷竭法”。 穷竭法所蕴涵的思想就是近代极限概念的雏 Ξ收稿日期: 2001—05—14。 (C) 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
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