均值不等式是数学中最基础且重要的定理之一，它描述了加权平均值与相应未加权平均值之间的关系。传统的均值不等式仅适用于特定类型的函数。现在，数学家们开发了一种普适推广，将均值不等式扩展到更广泛的函数类。
均值不等式的传统形式
传统的均值不等式指出，对于一组正实数 \(x_1, x_2, ..., x_n\) 和一组对应的非负权重 \(w_1, w_2, ..., w_n\)，以下不等式成立：
$$\frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} \ge \left(\prod_{i=1}^n x_i^{\frac{w_i}{\sum_{i=1}^n w_i}}\right)^{\frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i}}$$
这个不等式告诉我们，加权平均值大于或等于其未加权类比的几何平均值。
普适推广
新的普适推广将均值不等式扩展到由单调函数 \(f\) 定义的加权平均值。对于一组正实数 \(x_1, x_2, ..., x_n\) 和一组对应的非负权重 \(w_1, w_2, ..., w_n\)，以下不等式成立：
$$f\left(\frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i}\right) \ge f\left(\left(\prod
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