引言
罗尔定理是微积分基本定理之一，它指出：如果一个实函数在闭区间[a, b]上连续可导，在区间内端点处的函数值相等，那么函数在区间内至少存在一点，使得导数为0。罗尔定理是一个重要的数学工具，在许多应用中都有着广泛的用途。它只适用于一阶导数连续的函数。为了扩展罗尔定理的适用范围，研究人员对任意次导数连续函数的泛化进行了广泛的研究。任意次导数连续函数的罗尔定理
定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间[a, b]上 $n$ 次导数连续，且 $f(a) = f(b)$。则存在一点 $c \in (a, b)$，使得 $f^{(n)}(c) = 0$。其中，$f^{(n)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。证明
根据数学归纳法进行证明：基例：当 $n=1$ 时，定理就是罗尔定理。归纳步骤：假设定理对 $n-1$ 阶导数连续的函数成立。现证明定理对 $n$ 阶导数连续的函数也成立。由于 $f(x)$ 在区间[a, b]上 $n$ 次导数连续，所以 $f^{(n-1)}(x)$ 在区间内 $(n-1)$ 次导数连续。根据归纳假设，存在一点 $c \in (a, b)$，使得 $f^{(n-1)}(c) = 0$。再求 $f^{(n-1)}(x)$ 的导数，得到 $f^{(n)}(x)$。由于 $f^{(n)}(x)$ 在区间内连续，所以它在点 $c$ 处的值为：f^{(n)}(c) = \lim_{x \to c} f^{(n)}(x) = f^{(n)}(c)因此，$f^{(n)}(c) = 0$。证毕。泛化的罗尔定理的应用
泛化的罗尔定理在许多应用中都有着重要的意义。例如，它可以用来求解以下类型的方程：$f^{(n)}(x) = 0$$f^{(n-1)}(x) = g(x)$其中，$g(x)$ 是一个已知的连续函数。泛化的罗尔定理还可以用于研究函数的凹凸性、极值和奇偶性等性质。结论
泛化的罗尔定理是一个重要的数学工具，它将罗尔定理的适用范围从一阶导数连续函数扩展到了任意次导数连续函数。该定理在许多应用中有着广泛的用途，如求解方程、研究函数性质等。微积分(中值定理)
微积分的中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称。 微分中值定理完整地出现经历了一个过程，是众多数学家共同研究的成果。 从费马定理到柯西中值定理，是一个逐步完善、不断向前发展的过程，而且随着相关数学理论知识的不断完善，微分中值定也随之得以完整起来，证明方法也出现了多样化。
一、微分中值定理的历史演变过程
微分中值定理，是微分学的核心定理，是研究函数的重要工具，是沟通函数与导数之间的桥梁，历来受到人们的重视。
微分中值定理有着明显的几何意义。 以拉格朗日中值定理为例，它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。 ”从这个意义上来说，人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代。
古希腊数学家在几何研究中，得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。 这正是拉格朗日中值定理的特殊情况，希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物线弓形的面积。
大利数学家卡瓦列里在《不可分量几何学》中，给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3是基于几何观点的，它叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。 这是几何形式的微分中值定理，被人们称为“卡瓦列里定理”。
人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之初就开始了。 1637年，著名法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理，在教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。 1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中，给出多项式形式的罗尔定理。
1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中，给出拉格朗日定理，并给出最初的证明，对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西。
他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》和《微分计算教程》，以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构。 他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。 在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理。
又在《微分计算教程》中，又将其推广为广义中值定理——柯西定理，从而发现了最后一块拼图，也就是最后一个微分中值定理。
二、微分中值定理
1、微分中值定理简介
1.1费马定理
费马在研究极大和极小问题的解法时，得到统一解法“虚拟等式法”，从而得出原始形式的费马定理。
费马的“虚拟等式法”可能基于一种非常直观的想法，当时微积分还处于初创阶段，并没有明确导数、极限、连续等概念。 用现代观点来看，其论断是不严格的。 我们现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新创造的。
1.2罗尔定理
最初的罗尔定理和现代罗尔定理不仅内容有所不同，而且证明也大相径庭，它是罗尔利用纯代数理论方法加以证明的，与微积分并没有什么联系。 我们现在看到的罗尔定理，是后人根据微积分理论重新证明，并把它推广为一般函数。 “罗尔定理”这一名称是由德罗比什在1834年给出，并由意大利数学家贝拉维蒂斯在1846年发表的论文中正式使用的。
1.3拉格朗日定理
拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理。
历史上拉格朗日定理证明，最初是拉格朗日在《解析函数论》中给出的。 这个证明很大程度上建立在直观基础上，也是直观的：“假设变量连续地变化，那么函数将会产生相应变化，但是如果不经过一切中间值，它就不会从一个值过渡到另一个值。 ”
19世纪初，在以柯西等为代表的微积分严格化运动中，人们给出了极限、连续和导数的严格定义，也给出了拉格朗日定理新的证明。
现代形式的拉格朗日定理，是由法国数学家博内。 他不是利用f（x）的连续性，而是利用罗尔定理，对拉格朗日定理加以重新证明。 达布则利用这个结论证明了：当f（x）可积时。 从而使微分中值定理成为微积分的重要研究工具。
1.4柯西定理
柯西定理是拉格朗日定理的推广，柯西的证明与拉格朗日对“拉格朗日中值定理”的证明很相似 。 微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要地位。
例如：他利用微分中值定理给出洛必达法则严格的证明，并研究泰勒定理的余项.从柯西起，微分中值定理就成为微分学的重要组成部分和研究函数的重要工具。
人们对微分中值定理的研究，大约经历了200多年的时间。 它从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段。 人们正是在这一发展过程中，逐渐认识到它们的内在联系和本质。
当博内通过设辅助函数的方法，利用罗尔定理证明了拉格朗日定理，后人又利用拉格朗日定理证明了罗尔定理，微分中值定理形成浓缩型的普遍化，而这种普遍化如同美国数学家克拉默所说：“在对数学史上任一时期中人们对数学做出贡献进行评价的，那些能把过去统一起来并同时为未来的拓广开辟了广阔道路的概念，应当算做是最为深刻的概念”。
2、多元函数的微分中值定理
前面介绍的微分中值定理都是一元微分学和平面领域上的微分中值定理，而在实际应用上，很多情况下都要突破这一局限。 为充分利用微分中值定理这个重要工具，将其进行推广，使之能够在n元微分学和n维空间下得以使用。
3、高阶微分中值定理
有些实际问题涉及函数高阶导数或高阶微分，将微分中值定理推广到高阶微分的情形。
4、复函数的微分中值定理
分析中有一套重要且应用广泛的微分中值定理。 同样，复杂分析中也可以得到相应的微分中值定理，并且由它可以导出与实分析中值定理类似的若干复分析微分中值定理。 但是，分析中的微分中值定理一般情况下在复函数中是不成立的，这就需要对它们进行一些约束和改进，使之能够在复函数中适用，这也是微分中值定理的一种推广。
文章主要介绍了微积分和微分中值定理历史演变过程，从中引出微分中值定理的三种形式；从多元函数的微分中值定理和高阶微分中值定理两个方面，研究探讨了微分中值定理的推广；另外，在复函数中，给出了与实分析中相对应的微分中值定理。
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在2阶导数,并且f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,g''(x)不等于0，
简单计算一下即可，答案如图所示
设函数f（x）在〔1,2〕上有二阶导数,且f(1)＝f（2）=0,又F(x)=(...
证明：F(x)=(x-1)²f(x),显然F(1)=F(2)=0,F(x)满足罗尔定理则存在ξ1∈(1,2),使得F(ξ1)=0又F(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)²f(x),知F(1)=0于是对F(x)再用罗尔定理知,存在ξ,1
