引言
角的概念在数学中有着悠久的历史，最早可以追溯到古埃及人。最初，角被定义为由两条半直线形成的平面区域。随着数学的发展，角的概念逐渐得到了扩展，超越了平面几何的界限，进入了多维和曲率空间。
多维空间中的角
在多维空间中，角可以由三条或更多条半直线形成。这类角称为 多面角 。例如，在三维空间中，由三条半直线形成的角称为三面角，由四条半直线形成的角称为四面角，以此类推。
多面角的量度是一个复杂的问题，需要考虑多条半直线之间的相对位置和空间曲率。一般来说，多面角的量度取决于所涉及的半直线数量、它们之间的夹角以及空间的曲率。
曲率空间中的角
在曲率空间中，角的概念与平面几何中的概念大不相同。在曲率空间中，直线不再是直的，而角也不再是平面区域。相反，角被定义为由两条测地线形成的区域，测地线是曲率空间中连接两点的最短路径。
曲率空间中的角量度与空间的曲率密切相关。空间曲率越大，角的量度就越小。例如，在一个球面上，一条大圆上的角比一条小圆上的角小，因为球面的曲率越大。
更高维度的角
在更高维度的空间中，角的概念变得更加复杂。在四维或更高维度的空间中，角可以由四条或更多条半直线形成。这类角称为 超多面角 。
超多面角的量度是一个高度复杂的问题，需要考虑多条半直线之间的相对位置和空间的曲率。目前，还没有一种通用的方法来计算超多面角的量度，但已经开发了一些特定情况下的方法。
应用
角的延伸概念在数学和物理学中有着广泛的应用。例如，在微分几何中，曲率被定义为角的量度。在广义相对论中，空间的曲率是由物质和能量的分布决定的，而角的量度可以用来描述时空中的引力场。
角的延伸概念在计算机图形学、机器人技术和材料科学等领域也有着重要的应用。
结论
角的概念是一个基础性的数学概念，其延伸概念超越了平面几何的界限，进入了多维和曲率空间。随着数学和物理学的发展，角的概念将继续得到扩展，为我们提供了解宇宙的基本结构和性质的强大工具。
361高等数学代表什么？与301数学一 302数学二差在哪儿？
361是所考科目的编码高 等 数 学(甲) 一,函数,极限,连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性,单调性,周期性和奇偶性 复合函数,反函数,分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 数列极限与函数极限的概念 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限: , 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念 考试要求 1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立简单应用问题中的函数关系式. 2. 理解函数的有界性,单调性,周期性和奇偶性.掌握判断函数这些性质的方法. 3. 理解复合函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.会求给定函数的复合函数和反函数. 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形. 5. 理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及函数极限存在与左,右极限之间的关系. 6. 掌握极限的性质及四则运算法则,会运用它们进行一些基本的判断和计算. 7. 掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限.掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8. 理解无穷小,无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限. 9. 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型. 10. 掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性,熟悉闭区间上连续函数的性质(有界性,最大值和最小值定理,介值定理等),并会应用这些性质. 11.理解函数一致连续性的概念. 二,一元函数微分学 考试内容 导数的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 基本初等函数的导数 导数的四则运算 复合函数,反函数,隐函数的导数的求法 参数方程所确定的函数的求导方法 高阶导数的概念 高阶导数的求法 微分的概念和微分的几何意义 函数可微与可导的关系 微分的运算法则及函数微分的求法 一阶微分形式的不变性 微分在近似计算中的应用 微分中值定理 洛必达(LHospital)法则 泰勒(Taylor)公式 函数的极值 函数最大值和最小值 函数单调性 函数图形的凹凸性,拐点及渐近线 函数图形的描绘 弧微分及曲率的计算 考试要求 1. 理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,掌握函数的可导性与连续性之间的关系. 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的求导公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分. 3. 了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数. 4. 会求分段函数的一阶,二阶导数. 5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶,二阶导数 6. 会求反函数的导数. 7. 理解并会用罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理和泰勒定理. 8. 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用. 9. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平,铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形. 10. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. 11.了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径. 三,一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 变上限定积分定义的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数,三角函数的有理式和简单无理函数的积分 广义积分(无穷限积分,瑕积分) 定积分的应用 考试要求 1. 理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念. 2. 熟练掌握不定积分的基本公式,熟练掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理.掌握牛顿-莱布尼茨公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 3. 会求有理函数,三角函数有理式和简单无理函数的积分. 4. 理解变上限定积分定义的函数,会求它的导数. 5. 理解广义积分(无穷限积分,瑕积分)的概念,掌握无穷限积分,瑕积分的收敛性判别法,会计算一些简单的广义积分. 6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积,平面曲线的弧长,旋转体的体积及侧面积,截面面积为已知的立体体积,功,引力,压力)及函数的平均值. 四,向量代数和空间解析几何 考试内容 向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积,向量积和混合积 两向量垂直,平行的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程,直线方程 平面与平面,平面与直线,直线与直线的夹角以及平行,垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程 考试要求 1. 熟悉空间直角坐标系,理解向量及其模的概念. 2. 熟练掌握向量的运算(线性运算,数量积,向量积),了解两个向量垂直,平行的条件. 3. 理解向量在轴上的投影,了解投影定理及投影的运算.理解方向数与方向余弦,向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法. 4. 掌握平面方程和空间直线方程及其求法. 5. 会求平面与平面,平面与直线,直线与直线之间的夹角,并会利用平面,直线的相互关系(平行,垂直,相交等)解决有关问题. 6. 会求空间两点间的距离,点到直线的距离以及点到平面的距离. 7. 了解空间曲线方程和曲面方程的概念. 8. 了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程. 9. 了解常用二次曲面的方程,图形及其截痕,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 五,多元函数微分学 考试内容 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限和连续 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数偏导数和全微分的概念及求法 全微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数,隐函数的求导法 高阶偏导数的求法 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 方向导数和梯度 二元函数的泰勒公式 多元函数的极值和条件极值 拉格朗日乘数法 多元函数的最大值,最小值及其简单应用 全微分在近似计算中的应用 考试要求 1. 理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义. 2. 理解二元函数的极限与连续性的概念及基本运算性质,了解二元函数累次极限和极限的关系 会判断二元函数在已知点处极限的存在性和连续性 了解有界闭区域上连续函数的性质. 3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念 了解二元函数可微,偏导数存在及连续的关系,会求偏导数和全微分,了解二元函数两个混合偏导数相等的条件 了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性. 4. 熟练掌握多元复合函数偏导数的求法. 5. 熟练掌握隐函数的求导法则. 6. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法. 7. 理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程. 8. 了解二元函数的二阶泰勒公式. 9. 理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值,最小值,并会解决一些简单的应用问题. 10. 了解全微分在近似计算中的应用 六,多元函数积分学 考试内容 二重积分,三重积分的概念及性质 二重积分与三重积分的计算和应用 两类曲线积分的概念,性质及计算 两类曲线积分之间的关系 格林(Green)公式 平面曲线积分与路径无关的条件 已知全微分求原函数 两类曲面积分的概念,性质及计算 两类曲面积分之间的关系 高斯(Gauss)公式 斯托克斯(Stokes)公式 散度,旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用 考试要求 1. 理解二重积分,三重积分的概念,掌握重积分的性质. 2. 熟练掌握二重积分的计算方法(直角坐标,极坐标),会计算三重积分(直角坐标,柱面坐标,球面坐标),掌握二重积分的换元法. 3. 理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系. 4. 掌握计算两类曲线积分的方法. 5. 掌握格林公式,掌握平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数. 6. 了解两类曲面积分的概念,性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,会用高斯公式,斯托克斯公式计算曲面,曲线积分. 7. 了解散度,旋度的概念,并会计算. 8. 了解含参变量的积分和莱布尼茨公式. 9. 会用重积分,曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积,曲面的面积,物体的体积,曲线的弧长,物体的质量,重心,转动惯量,引力,功及流量等). 七,无穷级数 考试内容 常数项级数及其收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域,和函数的概念 幂级数及其收敛半径,收敛区间(指开区间)和收敛域 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 泰勒级数 初等函数的幂级数展开式 函数的幂级数展开式在近似计算中的应用 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数 狄利克雷(Dirichlet)定理 函数在[-l,l]上的傅里叶级数 函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数.函数项级数的一致收敛性. 考试要求 1. 理解常数项级数的收敛,发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件 2. 掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件. 3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法. 4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法. 5. 了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系. 6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念. 7. 理解幂级数收敛半径的概念,并掌握幂级数的收敛半径,收敛区间及收敛域的求法. 8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性,逐项微分和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和. 9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件. 10. 掌握一些常见函数如ex,sin x,cos x,ln(1+x)和(1+x)α等的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数. 11. 会利用函数的幂级数展开式进行近似计算. 12.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷定理,会将定义在[-l,l]上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会将周期为2l的函数展开为傅里叶级数. 13. 了解函数项级数的一致收敛性及一致收敛的函数项级数的性质,会判断函数项级数的一致收敛性. 八,常微分方程 考试内容 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利(Bermoulli)方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降价的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 欧拉(Euler)方程 微分方程的幂级数解法 简单的常系数线性微分方程组的解法 微分方程的简单应用 考试要求 1. 掌握微分方程及其阶,解,通解,初始条件和特解等概念. 2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法. 3. 会解齐次微分方程,伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程. 4. 会用降阶法解下列方程:y(n)=f(x),y=f(x,y)和y=f(y,y) 5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理.了解解二阶非齐次线性微分方程的常数变易法. 6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程. 7. 会解自由项为多项式,指数函数,正弦函数,余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程. 8. 会解欧拉方程. 9. 了解微分方程的幂级数解法. 10.了解简单的常系数线性微分方程组的解法. 11 会用微分方程解决一些简单的应用问题. 六,主要参考文献 《高等数学(上,下册)》(第五版),同济大学数学教研室主编,高等教育出版社,1996年
十八世纪的解析几何和微分几何（五）
曲面理论 和空间曲线理论一样，曲面理论的建立也是一个相当漫长的过程。 曲面理论始于研究曲面（地球）上的测地线。 1697年约翰伯努利提问：怎样在一凸面曲面上求两点间最短弧。 1698年他给莱布尼茨写信说，测地线上任何一点处的密切平面（密切圆平面）在该点垂直于曲面，同年他的哥哥詹姆斯伯努利解决了柱面、锥面和旋转曲面上的测地线问题，30年后约翰伯努利用哥哥的方法求出另外几种曲面的测地线，不过詹姆斯伯努利的方法有局限性。 1728年欧拉使用他在变分法中引入的方法，给出了曲面上测地线的微分方程，1732年Jacob Hermann也求出了一些特殊曲面上的测地线。 克莱罗在1733年和1739年的著作中充分讨论了旋转曲面上的测地线，证明测地线和穿过测地线的任何子午线的夹角正弦和交点到旋转轴的垂直距离成反比；他又证明如果一平面通过旋转曲面任何一点M且垂直于曲面和通过M点的子午面，则该平面与曲面的交线在M点处的曲率半径等于法线在M点和旋转轴之间的长度，尽管他使用了分析法，但不具备与变分法相联系的思想。 1760年欧拉出版了《关于曲面上曲线的研究》，在该书中建立了曲面理论，是微分几何发展史中的里程碑。 他把曲面表示成z=f(x,y)并引入了现代的标准符号，先求曲面任何平面截线的曲率半径的表达式，再把结果应用到法向截面，他把垂直于xy平面的法向截面定义为主法向截面，得到法截线的曲率半径。 他想要求出过曲线上一点的所有法截线的最大曲率和最小曲率，发现存在两个相差90°的根，即有两个相互垂直的法平面，我们把这两个曲率称为主曲率κ1和κ2。 从欧拉的结果推得，任何一个和主曲率所在法截面之一成α角的法截面，其上截线的曲率κ为：κ=κ1cos^2α+κ2sin^2α，这个结果称为欧拉定理。 、 蒙日的学生Jean Baptiste Marie (J. B. M. Meusnier de la Place，中文翻译为梅斯尼埃，1754-1793)在1776年以更精细的方式得到相同结果，梅斯尼埃和拉瓦锡一起搞过流体动力学和化学，他处理了非法截线的曲率（欧拉搞过一个复杂的表达式），称为梅斯尼埃定理：曲面在P点的平面截线曲率，是通过P点的同一切线的法截线曲率除以原平面和P点切平面之夹角的正弦，他证明了两个主曲率处处相等的曲面只有平面和球面。 他的论文使18世纪的许多结果变得直观。 绘制地图的需求发展了曲面论的一个主要领域：研究可展曲面，即将其平摊在平面而不产生畸变的曲面，同时形状与球面接近。 欧拉是第一个研究这个问题的人。 18世纪曲面被认为是固体的边界，因此他认为立体的表面可展平在一张平面上。 他引入了曲面的参数表示，试图寻求满足什么条件的函数可以使曲面展开在平面上。 他推导出可展性的充要条件，方程等价于曲面上的线元素与平面上的线元素相等。 然后欧拉研究了空间曲线和可展曲面的关系，并证明任何空间曲线的切线族填满或构成一可展曲面。 他试图证明每个可展曲面都是直纹面（直线移动生成的曲面），且逆定理也成立，但没有成功（实际上逆定理不成立）。 蒙日独立研究了可展曲面的课题，他结合了分析法和几何法，是继笛卡尔后综合几何领域的第二个代表人物。 蒙日在画法几何（为建筑学服务的）、解析几何、微分几何、常微分方程和偏微分方程领域的工作赢得了拉格朗日的钦佩和羡慕。 他也为物理学、化学（他跟梅斯尼埃都跟拉瓦锡一起工作过）、冶金学、机械学做了许多贡献，他看到了工业发展对科学的需求，提倡把工业化用于改善民生。 也许是因为他出身贫寒，懂得底层的苦难，所以他热心社会事务，在法国革命后的政府担任海军部长和公众健康委员会委员（可能是1792年左右，跟尚未成名的拿破仑结了善缘，但是他自己不记得了。 后来革命愈演愈烈，蒙日差点被群众搞死，被拿破仑救了一命）他搞过武器设计，还用技术思想指导政府官员。 他是波拿巴的支持者（但是看网络百科，没感觉他崇拜拿破仑呀），后来波旁王朝复辟，使得这位天才晚景凄凉。 蒙日帮助组织了很多工艺学校，建立了一个几何学派（他创立的画法几何因为太强了，被要求签保密协议，很多年后解禁了才在巴黎公开授课），他是一个伟大的教师，至少有12个学生是19世纪初的知名人物。 蒙日在三维微分几何的贡献远超欧拉，1795年他发表了一篇论文，把过去的成果系统化并作了扩充，提出了一些新的重要结果，并把曲线、曲面的性质翻译成偏微分方程的语言。 在寻求分析和几何的对应关系时，他认识到一族具有共同几何性质或用同一种生成方法定义的曲面应该满足一个偏微分方程。 蒙日的第一个重要工作是关于双重曲率曲线的可展曲面，研究空间曲线及与之相联系的曲面，他把空间曲线看作两空间交线或两个互相垂直平面的投影。 他把法平面和相邻法平面交线的极限位置称为极轴。 当沿着曲线移动时，法平面的包络是一可展曲面，叫做配极可展曲面。 为了求配极可展曲面的方程，他给出法平面方程，然后给出了求单参数平面族包络的法则，这个法则沿用至今且同样适用于单参数曲面族。 蒙日还研究了可展曲面的脊线，这是由生成曲面的一组直线形成的，脊线把可展曲面分成两叶，就像尖点把平面曲线分成两部分。 蒙日得到了脊线方程，在配极可展曲面，脊线就是原空间曲线的曲率中心的轨迹。 1775年蒙日发表了一篇在影子和半阴影理论中碰到的可展曲面的论文，直观论述了可展曲面是直纹面（但反之不然）。 在直纹面上两条相邻直线共点或平行，任何可展曲面等价于由空间曲线的切线生成的曲面。 在文章中他给出可展曲面的一般表示，然后他给出直纹面的一般表示，可展曲面是一种特殊直纹面。 1776年他研究怎样最有效地把土从一个地方搬到另一个地方，事实上这篇文章的重点不是应用，而是其中的几何结果。 他从处理两个参数的一族直线或线汇这个课题着手，然后遵循欧拉和梅斯尼埃的工作，考虑了曲面S的法线族。 曲率线的曲面法线构成一个可展曲面，称为法可展曲面（这些术语简直使我灵魂出窍了……），类似地，沿垂直于第一条曲率线的曲率线的曲面法线也构成一个可展曲面。 因为曲面上有两族曲率线，所以有两族可展曲面，且相互正交。 一族可展曲面的全部脊线组成一曲面，称为中心曲面。 每族可展曲面的包络叫焦曲面。 蒙日对满足非线性、线性一阶、二阶、三阶偏微分方程的曲面族的研究工作对偏微分方程意义重大。 他喜欢通过对具体曲线、曲面的论述阐明思想。 他思想的推广和应用是由19世纪的数学家实现的。 蒙日面向实际，在1795年的论文中他以理论怎样应用于建筑建造作为结尾。 蒙日的学生皮埃尔·夏尔·弗朗索瓦·迪潘（1784-1873）也为曲面论做了贡献，迪潘是个造船工程师，也侧重应用，他的贡献之一是迪潘指标线，澄清了欧拉和梅斯尼埃先前的结果。 给定曲面在M点的切平面，从M点向切平面的每个方向划出一线段，长度等于曲面在该方向的法截线的曲率半径的平方根，这些线段端点的轨迹是一条圆锥曲线，即指标线。 曲面上通过M点具有极大极小曲率的曲线，是在M点以指标线的轴线作为切线的曲线。 迪潘还给出了定理：三族正交曲面相互交截于每个曲面的曲率线（有最大或最小法曲率的曲线）。 迪潘推广了蒙日关于线汇的结果。 如果线汇（双参数族）与一族曲面正交，则称线汇为正交的。 法国物理学家马吕斯Etienne Louis Malus（1775-1812）利用了蒙日的结果，证明从一点发出的法向线汇在曲面上反射或折射后仍然是一个法向线汇。 1816年迪潘证明这一定理对任何法向线汇经任意多次反射后仍然成立。 后来凯特勒Lambert Adolphe Jacques Quetelet（1796-1874）证明法向线汇经多次折射后仍然为法向线汇。 线汇和线丛（马吕斯引入的三参数曲线族）是19世纪许多数学家研究的课题。
你都知道那些科学家？他（她）们都有哪些科学成就？
张衡——地动仪 祖冲之——圆周率 僧一行——子午线 加利略——力学 牛顿——万有引力 卢瑟福——原子模型 波尔——量子力学 哈勃——宇宙膨胀理论 哥白尼——日心说 达尔文——进化论少年牛顿 牛顿:1643年1月4日，在英格兰林肯郡小镇沃尔索浦的一个自耕农家庭里，牛顿诞生了。 牛顿是一个早产儿，出生时只有三磅重，接生婆和他的亲人都担心他能否活下来。 谁也没有料到这个看起来微不足道的小东西会成为了一位震古烁今的科学巨人，并且竟活到了85岁的高龄。 牛顿出生前三个月父亲便去世了。 在他两岁时，母亲改嫁给一个牧师，把牛顿留在外祖母身边抚养。 11岁时，母亲的后夫去世，母亲带着和后夫所生的一子二女回到牛顿身边。 牛顿自幼沉默寡言，性格倔强，这种习性可能来自它的家庭处境。 大约从五岁开始，牛顿被送到公立学校读书。 少年时的牛顿并不是神童，他资质平常，成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等。 传说小牛顿把风车的机械原理摸透后，自己制造了一架磨坊的模型，他将老鼠绑在一架有轮子的踏车上，然后在轮子的前面放上一粒玉米，刚好那地方是老鼠可望不可及的位置。 老鼠想吃玉米，就不断的跑动，于是轮子不停的转动；又一次他放风筝时，在绳子上悬挂着小灯，夜间村人看去惊疑是彗星出现；他还制造了一个小水钟。 每天早晨，小水钟会自动滴水到他的脸上，催他起床。 他还喜欢绘画、雕刻，尤其喜欢刻日晷，家里墙角、窗台上到处安放着他刻画的日晷，用以验看日影的移动。 牛顿12岁时进了离家不远的格兰瑟姆中学。 牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿本人却无意于此，而酷爱读书。 随着年岁的增大，牛顿越发爱好读书，喜欢沉思，做科学小实验。 他在格兰瑟姆中学读书时，曾经寄宿在一位药剂师家里，使他受到了化学试验的熏陶。 牛顿在中学时代学习成绩并不出众，只是爱好读书，对自然现象由好奇心，例如颜色、日影四季的移动，尤其是几何学、哥白尼的日心说等等。 他还分门别类的记读书笔记，又喜欢别出心裁的作些小工具、小技巧、小发明、小试验。 当时英国社会渗透基督教新思想，牛顿家里有两位都以神父为职业的亲戚，这可能影响牛顿晚年的宗教生活。 从这些平凡的环境和活动中，还看不出幼年的牛顿是个才能出众异于常人的儿童。 后来迫于生活，母亲让牛顿停学在家务农，赡养家庭。 但牛顿一有机会便埋首书卷，以至经常忘了干活。 每次，母亲叫他同佣人一道上市场，熟悉做交易的生意经时，他便恳求佣人一个人上街，自己则躲在树丛后看书。 有一次，牛顿的舅父起了疑心，就跟踪牛顿上市镇去，发现他的外甥伸着腿，躺在草地上，正在聚精会神地钻研一个数学问题。 牛顿的好学精神感动了舅父，于是舅父劝服了母亲让牛顿复学，并鼓励牛顿上大学读书。 牛顿又重新回到了学校，如饥似渴地汲取着书本上的营养。 求学岁月 1661年，19岁的牛顿以减费生的身份进入剑桥大学三一学院，靠为学院做杂务的收入支付学费，1664年成为奖学金获得者，1665年获学士学位。 17世纪中叶，剑桥大学的教育制度还渗透着浓厚的中世纪经院哲学的气味，当牛顿进入剑桥时，哪里还在传授一些经院式课程，如逻辑、古文、语法、古代史、神学等等。 两年后三一学院出现了新气象，卢卡斯创设了一个独辟蹊径的讲座，规定讲授自然科学知识，如地理、物理、天文和数学课程。 讲座的第一任教授伊萨克·巴罗是个博学的科学家。 这位学者独具慧眼，看出了牛顿具有深邃的观察力、敏锐的理解力。 于是将自己的数学知识，包括计算曲线图形面积的方法，全部传授给牛顿，并把牛顿引向了近代自然科学的研究领域。 在这段学习过程中，牛顿掌握了算术、三角，读了开普勒的《光学》，笛卡尔的《几何学》和《哲学原理》，伽利略的《两大世界体系的对话》，胡克的《显微图集》，还有皇家学会的历史和早期的哲学学报等。 牛顿在巴罗门下的这段时间，是他学习的关键时期。 巴罗比牛顿大12岁，精于数学和光学，他对牛顿的才华极为赞赏，认为牛顿的数学才超过自己。 后来，牛顿在回忆时说道：“巴罗博士当时讲授关于运动学的课程，也许正是这些课程促使我去研究这方面的问题。 ” 当时，牛顿在数学上很大程度是依靠自学。 他学习了欧几里得的《几何原本》、笛卡儿的《几何学》、沃利斯的《无穷算术》、巴罗的《数学讲义》及韦达等许多数学家的著作。 其中，对牛顿具有决定性影响的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，它们将牛顿迅速引导到当时数学最前沿～解析几何与微积分。 1664年，牛顿被选为巴罗的助手，第二年，剑桥大学评议会通过了授予牛顿大学学士学位的决定。 1665～1666年严重的鼠疫席卷了伦敦，剑桥离伦敦不远，为恐波及，学校因此而停课，牛顿于1665年6月离校返乡。 由于牛顿在剑桥受到数学和自然科学的熏陶和培养，对探索自然现象产生浓厚的兴趣，家乡安静的环境又使得他的思想展翅飞翔。 1665～1666年这段短暂的时光成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，他在自然科学领域内思潮奔腾，才华迸发，思考前人从未思考过的问题，踏进了前人没有涉及的领域，创建了前所未有的惊人业绩。 1665年初，牛顿创立级数近似法,以及把任意幂的二项式化为一个级数的规则；同年11月，创立正流数法(微分)；次年1月，用三棱镜研究颜色理论；5月，开始研究反流数法(积分)。 这一年内，牛顿开始想到研究重力问题，并想把重力理论推广到月球的运动轨道上去。 他还从开普勒定律中推导出使行星保持在它们的轨道上的力必定与它们到旋转中心的距离平方成反比。 牛顿见苹果落地而悟出地球引力的传说，说的也是此时发生的轶事。 总之，在家乡居住的两年中，牛顿以比此后任何时候更为旺盛的精力从事科学创造，并关心自然哲学问题。 他的三大成就：微积分、万有引力、光学分析的思想都是在这时孕育成形的。 可以说此时的牛顿已经开始着手描绘他一生大多数科学创造的蓝图。 1667年复活节后不久，牛顿返回到剑桥大学，10月1日被选为三一学院的仲院侣(初级院委)，翌年3月16日获得硕士学位，同时成为正院侣(高级院委)。 1669年10月27日，巴罗为了提携牛顿而辞去了教授之职，26岁的牛顿晋升为数学教授，并担任卢卡斯讲座的教授。 巴罗为牛顿的科学生涯打通了道路，如果没有牛顿的舅父和巴罗的帮助，牛顿这匹千里马可能就不会驰骋在科学的大道上。 巴罗让贤，这在科学史上一直被传为佳话。 伟大的成就～建立微积分 在牛顿的全部科学贡献中，数学成就占有突出的地位。 他数学生涯中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理。 据牛顿本人回忆，他是在1664年和1665年间的冬天，在研读沃利斯博士的《无穷算术》时，试图修改他的求圆面积的级数时发现这一定理的。 笛卡尔的解析几何把描述运动的函数关系和几何曲线相对应。 牛顿在老师巴罗的指导下，在钻研笛卡尔的解析几何的基础上，找到了新的出路。 可以把任意时刻的速度看是在微小的时间范围里的速度的平均值，这就是一个微小的路程和时间间隔的比值，当这个微小的时间间隔缩小到无穷小的时候，就是这一点的准确值。 这就是微分的概念。 求微分相当于求时间和路程关系得在某点的切线斜率。 一个变速的运动物体在一定时间范围里走过的路程，可以看作是在微小时间间隔里所走路程的和，这就是积分的概念。 求积分相当于求时间和速度关系的曲线下面的面积。 牛顿从这些基本概念出发，建立了微积分。 微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。 牛顿为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为流数术。 它所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大和极小值问题等，在牛顿前已经得到人们的研究了。 但牛顿超越了前人，他站在了更高的角度，对以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。 牛顿没有及时发表微积分的研究成果，他研究微积分可能比莱布尼茨早一些，但是莱布尼茨所采取的表达形式更加合理，而且关于微积分的著作出版时间也比牛顿早。 在牛顿和莱布尼茨之间，为争论谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，这种争吵在各自的学生、支持者和数学家中持续了相当长的一段时间，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。 英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 应该说，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，它必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。 微积分也是这样，是牛顿和莱布尼茨在前人的基础上各自独立的建立起来的。 1707年，牛顿的代数讲义经整理后出版，定名为《普遍算术》。 他主要讨论了代数基础及其(通过解方程)在解决各类问题中的应用。 书中陈述了代数基本概念与基本运算，用大量实例说明了如何将各类问题化为代数方程，同时对方程的根及其性质进行了深入探讨，引出了方程论方面的丰硕成果，如，他得出了方程的根与其判别式之间的关系，指出可以利用方程系数确定方程根之幂的和数，即“牛顿幂和公式”。 牛顿对解析几何与综合几何都有贡献。 他在1736年出版的《解析几何》中引入了曲率中心，给出密切线圆(或称曲线圆)概念，提出曲率公式及计算曲线的曲率方法。 并将自己的许多研究成果总结成专论《三次曲线枚举》，于1704年发表。 此外，他的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多领域。 伟大的成就～对光学的三大贡献 在牛顿以前，墨子、培根、达·芬奇等人都研究过光学现象。 反射定律是人们很早就认识的光学定律之一。 近代科学兴起的时候，伽利略靠望远镜发现了“新宇宙”，震惊了世界。 荷兰数学家斯涅尔首先发现了光的折射定律。 笛卡尔提出了光的微粒说…… 牛顿以及跟他差不多同时代的胡克、惠更斯等人，也象伽利略、笛卡尔等前辈一样，用极大的兴趣和热情对光学进行研究。 1666年，牛顿在家休假期间，得到了三棱镜，他用来进行了著名的色散试验。 一束太阳光通过三棱镜后，分解成几种颜色的光谱带，牛顿再用一块带狭缝的挡板把其他颜色的光挡住，只让一种颜色的光在通过第二个三棱镜，结果出来的只是同样颜色的光。 这样，他就发现了白光是由各种不同颜色的光组成的，这是第一大贡献。 牛顿为了验证这个发现，设法把几种不同的单色光合成白光，并且计算出不同颜色光的折射率，精确地说明了色散现象。 揭开了物质的颜色之谜，原来物质的色彩是不同颜色的光在物体上有不同的反射率和折射率造成的。 公元1672年，牛顿把自己的研究成果发表在《皇家学会哲学杂志》上，这是他第一次公开发表的论文。 许多人研究光学是为了改进折射望远镜。 牛顿由于发现了白光的组成，认为折射望远镜透镜的色散现象是无法消除的(后来有人用具有不同折射率的玻璃组成的透镜消除了色散现象)，就设计和制造了反射望远镜。 牛顿不但擅长数学计算，而且能够自己动手制造各种试验设备并且作精细实验。 为了制造望远镜，他自己设计了研磨抛光机，实验各种研磨材料。 公元1668年，他制成了第一架反射望远镜样机，这是第二大贡献。 公元1671年，牛顿把经过改进得反射望远镜献给了皇家学会，牛顿名声大震，并被选为皇家学会会员。 反射望远镜的发明奠定了现代大型光学天文望远镜的基础。 同时，牛顿还进行了大量的观察实验和数学计算，比如研究惠更斯发现的冰川石的异常折射现象，胡克发现的肥皂泡的色彩现象，“牛顿环”的光学现象等等。 牛顿还提出了光的“微粒说”，认为光是由微粒形成的，并且走的是最快速的直线运动路径。 他的“微粒说”与后来惠更斯的“波动说”构成了关于光的两大基本理论。 此外，他还制作了牛顿色盘等多种光学仪器。 伟大的成就～构筑力学大厦 牛顿是经典力学理论的集大成者。 他系统的总结了伽利略、开普勒和惠更斯等人的工作，得到了著名的万有引力定律和牛顿运动三定律。 在牛顿以前，天文学是最显赫的学科。 但是为什么行星一定按照一定规律围绕太阳运行？天文学家无法圆满解释这个问题。 万有引力的发现说明，天上星体运动和地面上物体运动都受到同样的规律——力学规律的支配。 早在牛顿发现万有引力定律以前，已经有许多科学家严肃认真的考虑过这个问题。 比如开普勒就认识到，要维持行星沿椭圆轨道运动必定有一种力在起作用，他认为这种力类似磁力，就像磁石吸铁一样。 1659年，惠更斯从研究摆的运动中发现，保持物体沿圆周轨道运动需要一种向心力。 胡克等人认为是引力，并且试图推到引力和距离的关系。 1664年，胡克发现彗星靠近太阳时轨道弯曲是因为太阳引力作用的结果；1673年，惠更斯推导出向心力定律；1679年，胡克和哈雷从向心力定律和开普勒第三定律，推导出维持行星运动的万有引力和距离的平方成反比。 牛顿自己回忆，1666年前后，他在老家居住的时候已经考虑过万有引力的问题。 最有名的一个说法是：在假期里，牛顿常常在花园里小坐片刻。 有一次，象以往屡次发生的那样，一个苹果从树上掉了下来…… 一个苹果的偶然落地，却是人类思想史的一个转折点，它使那个坐在花园里的人的头脑开了窍，引起他的沉思：究竟是什么原因使一切物体都受到差不多总是朝向地心的吸引呢？牛顿思索着。 终于，他发现了对人类具有划时代意义的万有引力。 牛顿高明的地方就在于他解决了胡克等人没有能够解决的数学论证问题。 1679年，胡克曾经写信问牛顿，能不能根据向心力定律和引力同距离的平方成反比的定律，来证明行星沿椭圆轨道运动。 牛顿没有回答这个问题。 1685年，哈雷登门拜访牛顿时，牛顿已经发现了万有引力定律：两个物体之间有引力，引力和距离的平方成反比，和两个物体质量的乘积成正比。 当时已经有了地球半径、日地距离等精确的数据可以供计算使用。 牛顿向哈雷证明地球的引力是使月亮围绕地球运动的向心力，也证明了在太阳引力作用下，行星运动符合开普勒运动三定律。 在哈雷的敦促下，1686年底，牛顿写成划时代的伟大著作《自然哲学的数学原理》一书。 皇家学会经费不足，出不了这本书，后来靠了哈雷的资助，这部科学史上最伟大的著作之一才能够在1687年出版。 牛顿在这部书中，从力学的基本概念(质量、动量、惯性、力)和基本定律(运动三定律)出发，运用他所发明的微积分这一锐利的数学工具，不但从数学上论证了万有引力定律，而且把经典力学确立为完整而严密的体系，把天体力学和地面上的物体力学统一起来，实现了物理学史上第一次大的综合。 站在巨人的肩上 牛顿的研究领域非常广泛，他除了在数学、光学、力学等方面做出卓越贡献外，他还花费大量精力进行化学实验。 他常常六个星期一直留在实验室里，不分昼夜的工作。 他在化学上花费的时间并不少，却几乎没有取得什么显著的成就。 为什么同样一个伟大的牛顿，在不同的领域取得的成就竟那么不一样呢？ 其中一个原因就是各个学科处在不同的发展阶段。 在力学和天文学方面，有伽利略、开普勒、胡克、惠更斯等人的努力，牛顿有可能用已经准备好的材料，建立起一座宏伟壮丽的力学大厦。 正象他自己所说的那样“如果说我看得远，那是因为我站在巨人的肩上”。 而在化学方面，因为正确的道路还没有开辟出来，牛顿没法走到可以砍伐材料的地方。 牛顿在临终前对自己的生活道路是这样总结的：“我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现。 ” 这当然是牛顿的谦逊。 怪异的牛顿 牛顿并不善于教学，他在讲授新近发现的微积分时，学生都接受不了。 但在解决疑难问题方面的能力，他却远远超过了常人。 还是学生时，牛顿就发现了一种计算无限量的方法。 他用这个秘密的方法，算出了双曲面积到二百五十位数。 他曾经高价买下了一个棱镜，并把它作为科学研究的工具，用它试验了白光分解为的有颜色的光。 开始，他并不愿意发表他的观察所得，他的发现都只是一种个人的消遣，为的是使自己在寂静的书斋中解闷，他独自遨游于自己所创造的超级世界里。 后来，在好友哈雷的竭力劝说下，才勉强同意出版他的手稿，才有划时代巨著《自然哲学的数学原理》的问世。 作为大学教授，牛顿常常忙得不修边幅，往往领带不结，袜带不系好，马裤也不纽扣，就走进了大学餐厅。 有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海了只剩下了无穷量的二项式定理。 他抓住姑娘的手指，错误的把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去。 牛顿也因此终生未娶。 牛顿从容不迫地观察日常生活中的小事，结果作出了科学史上一个个重要的发现。 他马虎拖沓，曾经闹过许多的笑话。 一次，他边读书，边煮鸡蛋，等他揭开锅想吃鸡蛋时，却发现锅里是一只怀表。 还有一次，他请朋友吃饭，当饭菜准备好时，牛顿突然想到一个问题，便独自进了内室，朋友等了他好久还是不见他出来，于是朋友就自己动手把那份鸡全吃了，鸡骨头留在盘子，不告而别了。 等牛顿想起，出来后，发现了盘子里的骨头，以为自己已经吃过了，便转身又进了内室，继续研究他的问题。 牛顿晚年 但是由于受时代的限制，牛顿基本上是一个形而上学的机械唯物主义者。 他认为运动只是机械力学的运动，是空间位置的变化；宇宙和太阳一样是没有发展变化的；靠了万有引力的作用，恒星永远在一个固定不变的位置上…… 随着科学声誉的提高，牛顿的政治地位也得到了提升。 1689年，他被当选为国会中的大学代表。 作为国会议员，牛顿逐渐开始疏远给他带来巨大成就的科学。 他不时表示出对以他为代表的领域的厌恶。 同时，他的大量的时间花费在了和同时代的著名科学家如胡克、莱布尼兹等进行科学优先权的争论上。 晚年的牛顿在伦敦过着堂皇的生活，1705年他被安妮女王封为贵族。 此时的牛顿非常富有，被普遍认为是生存着的最伟大的科学家。 他担任英国皇家学会会长，在他任职的二十四年时间里，他以铁拳统治着学会。 没有他的同意，任何人都不能被选举。 晚年的牛顿开始致力于对神学的研究，他否定哲学的指导作用，虔诚地相信上帝，埋头于写以神学为题材的著作。 当他遇到难以解释的天体运动时，竟提出了“神的第一推动力”的谬论。 他说“上帝统治万物，我们是他的仆人而敬畏他、崇拜他”。 1727年3月20日，伟大艾萨克·牛顿逝世。 同其他很多杰出的英国人一样，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。 他的墓碑上镌刻着： 让人们欢呼这样一位多么伟大的 人类荣耀曾经在世界上存在。 参考资料：
